Question

9．设正实数x，y，z满足x²-xy+4y²-z=0．则当$\frac{z}{xy}$取得最小值时，x+4y-z的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 将z=x²-xy+4y²代入$\frac{z}{xy}$，利用基本不等式化简即可得到当$\frac{z}{xy}$取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y-z的最大值．

解答 解：∵x²-xy+4y²-z=0，
∴z=x²-xy+4y²，又x，y，z为正实数，
∴$\frac{z}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-1≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}$-1=3（当且仅当x=2y时取“=”），
当且仅当$\frac{x}{y}$=$\frac{4y}{x}$，即x=2y（y＞0）时取等号，
此时x+4y-z=2y+4y-（x²-xy+4y²）=6y-6y²
=-6（y-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$≤$\frac{3}{2}$．
∴x+4y-z的最大值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题考查基本不等式，根据条件求得$\frac{z}{xy}$取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．