Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=30°，a=3，b=3$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求B和△ABC的面积；
（Ⅱ）当B是钝角时，证明：tan（B-118°）不可能是有理数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理可求sinB，由B是三角形内角且B＞A，则B=60°或B=120°，利用三角形面积公式分情况求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论得tan（B-118°）=tan2°，假设tan2°是有理数，可证tan4°=$\frac{2tan2°}{1-ta{n}^{2}2°}$为有理数，tan32°为有理数，由tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{tan32°-tan2°}{1+tan32°tan2°}$，等式左边为无理数，等式右边为有理数，退出矛盾，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即sinB=$\frac{3\sqrt{3}sin30°}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（2分）
因为B是三角形内角且B＞A，则B=60°或B=120°．…（4分）
记△ABC的面积为S．
当B=60°时，C=90°，S=$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$．…（5分）
当B=120°时，C=30°，S=$\frac{1}{2}absin30°=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）证明：因为B是钝角，结合（Ⅰ）的结论得tan（B-118°）=tan2°
假设tan2°是有理数，…（8分）
则tan4°=$\frac{2tan2°}{1-ta{n}^{2}2°}$为有理数；
同理可证tan8°，tan16°，tan32°为有理数． …（10分）
tan30°=$\frac{tan32°-tan2°}{1+tan32°tan2°}$，等式左边=$\frac{\sqrt{3}}{3}$为无理数，等式右边为有理数，从而矛盾，则tan2°不可能是有理数，即tan（B-118°）不可能是有理数．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，两角和的正切函数公式的应用，考查了反证法，属于基本知识的考查．