Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=2，且a_na_n+1+a_n+1-2a_n=0（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （1）由题设条件得a_n+1=$\frac{2an}{an+1}$，由此能够求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想a_n=$\frac{2n}{2n-1}$，然后用数学归纳法进行证明．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由题意得a_n+1=$\frac{2an}{an+1}$，又a₁=2，
∴a₂=$\frac{2a1}{a1+1}$=$\frac{4}{3}$，a₃=$\frac{2a2}{a2+1}$=$\frac{8}{7}$，a₄=$\frac{2a3}{a3+1}$=$\frac{16}{15}$．…（4分）
（2）猜想a_n=$\frac{2n}{2n-1}$..…．…（6分）
证明：①当n=1时，$\frac{21}{21-1}$=2=a₁，故命题成立．
②假设n=k时命题成立，即a_k=$\frac{2k}{2k-1}$，
a_k+1=$\frac{2ak}{ak+1}$=$\frac{2×\f（2k}{2k-1}，\frac{2k}{2k-1}+1）$=$\frac{2k+1}{2k+2k-1}$=$\frac{2k+1}{2k+1-1}$，
故命题成立．
综上，由①②知，对一切n∈N^*有a_n=$\frac{2n}{2n-1}$成立．．…（12分）

点评 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法的证明过程，属于中档题．