Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，试求$\frac{CP}{CQ}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD⊥PE，AD⊥BE，即可证明：AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，利用底面积S_BCDE=$\frac{3}{4}$S_ABCD，求$\frac{CP}{CQ}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE；
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°
所以AB=BD，
又因为E是AD的中点，
所以AD⊥BE，（4分）
又PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．（6分）
（Ⅱ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h₁，h₂，所以V_P-BCDE=$\frac{1}{3}$S_BCDE•h₁，V_Q-ABCD=$\frac{1}{3}$S_ABCD•h₂，（8分）
又因为V_P-BCDE=3V_Q-ABCD，且底面积S_BCDE=$\frac{3}{4}$S_ABCD，（10分）
所以$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}$=4．（13分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．