Question

5．已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-4{a}_{n}+5}$+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）根据计算结果猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-4{a}_{n}+5}$+2，代入计算，可得结论；
（Ⅱ）猜想a_n=2+$\sqrt{n}$，n∈N^*．然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=3，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-4{a}_{n}+5}$+2（n∈N^*）可得
a₂=2+$\sqrt{2}$，a₃=2+$\sqrt{3}$，a₄=2+$\sqrt{4}$=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想：a_n=2+$\sqrt{n}$，n∈N^*．
以下用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边a₁=3，右边2+1=3，符合结论；
（2）假设n=k（k≥2，k∈N^*）时结论成立，即a_k=2+$\sqrt{k}$，
那么，当n=k+1时，a_k+1=$\sqrt{{a}_{k}^{2}-4{a}_{k}+5}+2$=$\sqrt{（2+\sqrt{k}）^{2}-4（2+\sqrt{k}）+5}$+2=$\sqrt{4+k+4\sqrt{k}-8-4\sqrt{k}+5}$+2=$\sqrt{k+1}$+2，
所以，当n=k+1时猜想也成立；
根据（1）和（2），可知猜想对于任意n∈N^*都成立．

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法