Question

1．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证：（1）PA∥平面BDE 
（2）若四棱锥P-ABCD的所有棱长都等于a，求BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接OE，证明OE∥PA，即可证明PA∥平面BDE 
（2）若四棱锥P-ABCD的所有棱长都等于a，取OC的中点F，连接EF，∠EBF是BE与平面ABCD所成的角，根据三角形的边角关系即可求BE与平面ABCD所成角的正弦值．

解答 证明：（1）连接OE，∵E是PC的中点．O是AC的中点．
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE 
PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）若四棱锥P-ABCD的所有棱长都等于a，
∴各侧面都是边长为a的等腰三角形，
∵PO⊥底面ABCD，
∴平面PAC⊥底面ABCD，
取OC的中点F，连接EF，
则EF∥PO，
且EF⊥底面ABCD，
则BF是BE在平面ABCD上的射影，
则∠EBF是BE与平面ABCD所成的角，
∵OC=OB=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∴PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
则EF=$\frac{1}{2}OP=\frac{\sqrt{2}a}{4}$，BE=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$
则sin∠EBF=$\frac{EF}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{4}}{\frac{\sqrt{3}a}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定，以及直线和平面所成角的求解，利用相应的判定定理和定义是解决本题的关键．