Question

18．已知函数f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及最大值．
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 利用和角公式，以及二倍角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）将x=$\frac{π}{6}$代入可得f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）根据A=1，ω=2，B=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得函数f（x）的最小正周期及最大值．
（3）利用y=sinx的单调增区间，求出f（x）的单调增区间．

解答 解：∵函数f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）当x=$\frac{π}{6}$时，f（$\frac{π}{6}$）=sin（2×$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0；
（2）∵A=1，ω=2，B=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故函数f（x）的最小正周期为π，
最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）由2x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z得：
2x∈[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
即x∈[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，

点评 本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．