Question

13．在△ABC中，AC=7，AD为∠BAC的角平分线交BC于D，且AD的长为整数，DC=4$\sqrt{2}$，cos∠DAC=$\frac{3}{5}$．
（1）求AD的长；
（2）求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）设出AD长，通过余弦定理，求出AD；
（2）通过cos∠DAC=$\frac{3}{5}$，结合正弦定理求出sin∠ADC，利用两角差的余弦函数求出cosB的值．

解答 解：（1）设AD=x，由余弦定理可知：32=x²+49-2×x×7×$\frac{3}{5}$，
即5x²-42x+85=0，
解得：x=5或x=$\frac{17}{5}$，
∵AD的长为整数，
∴AD=5．
（2）在△ADC中，由cos∠DAC=$\frac{3}{5}$，得sin∠DAC=sin∠DAB=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{7}{sin∠ADC}=\frac{4\sqrt{2}}{\frac{4}{5}}$，
∴sin∠ADC=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∵AD＞AC，∴∠ADC为锐角，
∴cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴cosB=cos（π-∠ADC-∠BAD）=-cos（∠ADC+∠BAD）
=-$\frac{\sqrt{2}}{10}•\frac{3}{5}$+$\frac{7\sqrt{2}}{10}•\frac{4}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角形的求法，考查余弦定理的应用，两角差的余弦函数的应用，考查计算能力．