Question

8．对于每个自然数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₅B₂₀₁₅|的值是$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式，抛物线与x轴交点的横坐标，根据x轴上两点间的距离公式，得|A_nB_n|=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再代入计算即可．

解答 解：∵抛物线的解析式为y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（$\frac{1}{n}$，0），（$\frac{1}{n+1}$，0），
∴|A_nB_n|=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₅B₂₀₁₅|=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为：$\frac{2015}{2016}$

点评 本题是一道找规律的题目，考查了抛物线与x轴的交点问题，令y=0，方程的两个实数根正好是抛物线与x轴交点的横坐标．