Question

在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除且奇偶数字相间的数共有（　　）

A．120个

B．108

C．20

D．12

Answer 1

分析：由于要能被5整除，故可利用分类计数原理将任务分为三类：第一类，末位为0且奇偶数字相间的四位数；第二类，末位为5，其中没有0的奇偶数字相间的四位数；第三类：末位为5，其中有0的奇偶数字相间的四位数，最后将三类的方法数求和即可．在每类中计数时，可利用分步计数原理，第一步，选出恰当个数的奇数，因为此四位数中一定有两个奇数，两个偶数；第二步，选出恰当个数的偶数，第三步，按要求排成四位数，将每步的方法数相乘即可

解答：解：利用分类计数原理：
第一类：末位为0且奇偶数字相间的四位数
    第一步，选两个奇数共有C₃²种选法，第二步，选一个偶数共有C₂¹种选法；第三步，由于奇偶相间，故偶数位置确定，排两个奇数共有A₂²种排法
∴末位为0且奇偶数字相间的四位数共有C₃²×C₂¹×A₂²=3×2×2=12个
第二类：末位为5，其中没有0的奇偶数字相间的四位数
     第一步，选一个奇数共有C₂¹种选法，第二步，选两个偶数共有C₂²种选法；第三步，由于奇偶相间，故奇数位置确定，排两个偶数共有A₂²种排法
∴末位为5，其中没有0，且奇偶数字相间的四位数共有C₂¹×C₂²×A₂²=2×1×2=4个
第三类：末位为5，其中有0的奇偶数字相间的四位数
      第一步，选一个奇数共有C₂¹种选法，第二步，选一个偶数共有C₂¹种选法；第三步，将0安排在非首位的位置共有1个位置可选，第四步，安排其他两个数共有1种排法
∴末位为5，其中有0，且奇偶数字相同的四位数共有C₂¹×C₂¹×1×1=2×2×1×1=4个
∴综上所述，由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除且奇偶数字相间的数共有12+4+4=20
故选 C

点评：本题考查了分类计数原理与分步计数原理的运用，排列、组合在计数中的应用，合理分类，恰当分步是解决本题的关键