Question

对于函数f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．如果函数
f(x)＝ax²＋bx＋1(a＞0)有两个相异的不动点x₁，x₂．
⑴若x₁<1<x₂，且f(x)的图象关于直线x＝m对称，求证：<m<1；
⑵若|x₁|<2且|x₁－x₂|＝2，求b的取值范围．

Answer 1

见解析

(Ⅰ)证明：g(x)＝f(x)－x＝ax²＋(b－1)x＋1?且a＞0 ∵x₁＜1＜x₂＜2
∴(x₁－1)(x₂－1)＜0即x₁x₂＜(x₁＋x₂)－1           
于是
＞［(x₁＋x₂)－1］＝         
又∵x₁＜1＜x₂＜2 ∴x₁x₂＞x₁于是有ｍ＝(x₁＋x₂)－x₁x₂＜(x₁＋x₂)－x₁＝x₂＜1 ∴＜m＜1              
(Ⅱ)解：由方程＞0，∴x₁x₂同号
(ⅰ)若0＜x₁＜2则x₂－x₁＝2
∴x₂＝x₁＋2＞2 ∴g(2)＜0
即4a＋2b－1＜0       ①
又(x₂－x₁)²＝     
∴，(∵a＞0)代入①式得
＜3－2b，解之得：b＜             
(ⅱ)若－2＜x₁＜0，则x₂＝－2＋x₁＜－2 ∴g(－2)＜0，即4a－2b＋3＜0 ②
又代入②得＜2b－1解之得b＞
综上可知b的取值范围为