【题目】如图,在三棱柱中,每个侧面均为正方形,
为底边
的中点,
为侧棱
上的点,且满足
平面
.
(1)求证: 平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析: (1)因为三棱柱各侧面都是正方形,所以,
,∴
平面
,∵
平面
,∴
,可证
平面
,,再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明;
(2) 取中点
,连接
,
,易知侧面
底面
,
是
与平面
所成角.,然后构造直角三角形,在直角三角形中求其正弦值,从而求解.
试题解析:(1)设和
的交点为
,连接
,
,
∵为
的中点,
为
的中点,
∴又
,∴
即
,
∵平面
,又平面
平面
,
∴,∴
为
的中点,
∵三棱柱各侧面都是正方形,所以,
,
∴平面
,
∵平面
,∴
,
由已知得,∴
,
∴平面
,
∴平面
,
∴,
∵侧面是正方形,∴,
又,
平面
,
平面
,∴
平面
.
(2)取中点
,连接
,
,
在三棱柱中,∵
平面
,
∴侧面底面
,
∵底面是正三角形,且
是
中点,∴
,所以
侧面
,
∴是
在平面
上的射影.
∴是
与平面
所成角.
.
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【题目】某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份).现从回收的年龄在岁的问卷中随机抽取了
份, 统计结果如下面的图表所示.
(1)分别求出的值;
(2)从年龄在答对全卷的人中随机抽取
人授予“环保之星”,求年龄在
的人中至少有
人被授予“环保之星”的概率.
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【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)设g(x)=log4(a2x+a),若f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数a的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
平面直角坐标系中,直线的参数方程为
(
为参数),以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)已知与直线平行的直线
过点
,且与曲线
交于
两点,试求
.
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),记f[2](x)=f(f(x)),例:f(x)=x2+1,
则f[2](x)=(f(x))2+1=(x2+1)2+1;
(1)f(x)=x2﹣x,解关于x的方程f[2](x)=x;
(2)记△=(b﹣1)2﹣4ac,若f[2](x)=x有四个不相等的实数根,求△的取值范围.
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【题目】已知是函数
图象上的点,
是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点
作直线,使其与双曲线
只有一个公共点,且与
轴、
轴分别交于点
、
,另一条直线
与
轴、
轴分别交于点
、
.
则(1)为坐标原点,三角形
的面积为__________.
(2)四边形面积的最小值为__________.
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