Question

【题目】已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设g（x）=log4（a2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），
∴，化简得，
即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴k=-．
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程有且只有一个实根，
化简得：方程有且只有一个实根，且a2x+a＞0成立，则a＞0．
令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，
设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，
所以①当a=1时，有t=1，合题意；
②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，
此时有a=-2+2；a=-2-2（舍去）．
③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．
综上可知，a的取值范围是{-2+2}∪[1，+∞）．
【解析】（1）由f（x）=f（﹣x），化简可得x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程有且只有一个实根，且a2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．