Question

（本小题满分16分）对于函数，如果存在实数使得
，那么称为的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；
第一组：；
第二组：；
（Ⅱ）设，生成函数．若不等式
在上有解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，取，生成函数使 恒成立，求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）① 设，即
，取，所以是的生成函数．……………………2分
② 设，即，
则，该方程组无解．所以不是的生成函数．………4分
（Ⅱ）…………………………5分
若不等式在上有解，
，即……7分
设，则，，……9分
，故，．………………………………………………………10分
（Ⅲ）由题意，得
 若，则在上递减，在上递增，
则，所以，得  …………12分
 若，则在上递增，则，
所以，得．………………………………………………14分
 若，则在上递减，则，故，无解
综上可知，………………………………………………………16分

略