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..(本小题满分14分)定义在上的函数,如果满足;对任意,存在常数,都有成立,则称上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数上的值域,并判断函数上是否为有界函数,请说明理由;
(Ⅱ)若上的有界函数,且的上界为3,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,求函数上的上界的取值范围.

解:(Ⅰ)当时,.
上递增,所以
上的值域为.    …………………………… 2分
故不存在常数,使成立.
所以函数上不是有界函数.………………………… 4分
(Ⅱ)∵函数上是以3为上界的有界函数,
上恒成立. ,
上恒成立.
…………………………………… 6分
.
,得.设,则

所以 上递增,上递减.
上的最大值为上的最小值为.
所以实数的取值范围为. ……………………………………… 9分
(Ⅲ)解法一:.
,.


. …………………………………………… 11分
①当时, ,此时
②当时,,此时.
综上所述,当时,的取值范围是
时,的取值范围是………… 14分
解法二:.令,因为,所以.
.
因为上是减函数,所以.………… 11分
又因为函数上的上界是,所以.
①当时,
②当时,.…………… 14分
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