Question

已知．
（1）当时，求的最大值；
（2）求证：恒成立；
（3）求证：．（参考数据：）

Answer 1

（1）的最大值为0；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）设，求导利用单调性即可得其最大值；.
（2）由（1）得，，变形即得左边的不等式：.右边不等式显然不宜直接作差，故考虑作适当的变形.为了证右边，设.求导得.的符号还不能直接确定.为了确定的符号，再设，求导得，所以即由此可知即，从而原命题得证；（3）首先看看所证不等式与第（2）题有何联系.对照待证不等式，可将（2）题中的不等式变形为：.显然取，得.右边易证如下：；左边则应考虑做缩小变形.由于左边为，故将缩为一个等差数列.因为，所以考虑把缩小为.
当时，，这样累加，再用等差数列的求和公式即可使问题得证.
试题解析：（1）设，则
，
所以在区间内单调递减，故的最大值为；  （4分）
（2）由（1）得，对，都有，即，
因为，所以.                          （6分）
设，则
.
设，则，
所以在区间内单调递增，故即.
所以在区间内单调递增，故即，
因为，所以.
从而原命题得证.                           （9分）
（3）由（2）得，，
令，得.
所以；  （11分）
另一方面，当时，，
所以
从而命题得证.                             （14分）