Question

将面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a_i（i=1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h_i（i=1，2，3，4），若

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k，则

4

i=1

ihi=

2S

k

；类比以上性质，将体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H_i（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H_i（i=1，2，3，4），若

S1

1

=

S2

2

=

S3

3

=

S4

4

=k，则

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：规律型,推理和证明

分析：由

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k可得a_i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．

解答： 解：根据三棱锥的体积公式V=

1

3

Sh．
得：

1

3

S₁H₁+

1

3

S₂H₂+

1

3

S₃H₃+

1

3

S₄H₄=V，
即S₁H₁+2S₂H₂+3S₃H₃+4S₄H₄=3V，
∴H₁+H₂+3H₃+4H₄=

3V

k

故答案为：H₁+H₂+3H₃+4H₄=

3V

k

．

点评：本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．