Question

【题目】已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.

（1）求曲线的方程；

（2）过点且斜率为的直线交曲线于， 两点，若，当时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由题意得曲线是以F（0，1）为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，进而可得其方程为。（2）设直线为y=kx+1，代入抛物线方程消去y可得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由得，又，可构造，由函数的单调性可得，即，解得。即为所求。

试题解析：

（1）由题意得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，

∴ 动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点，以y=﹣1为准线的抛物线，

设其方程为,

由条件得.

∴ 曲线的标准方程为；

（2）由题意设直线的方程为y=kx+1，

由消去y整理得，

∵ 直线与抛物线相交，

∴，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

∵，即，

∴，

∴，

由可得

，

即，

∵，∴。

设 ，则函数在上单调递减。

∴，即。

由得，满足。

∴的取值范围为。