Question

已知函数f（x）=2^x+a•2^-x是定义域为R的奇函数，
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）是R上的单调函数；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2^x+a•2^-x是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=1+a=0，∴a=-1，
经检验当a=-1时，f（x）是奇函数，故所求a=-1；
（2）由（1）可知f（x）=2^x-2^-x，
?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

∵x₁＜x₂，∴，即
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的递增函数，即f（x）是R上的单调函数．
（3）∵根据题设及（2）知f（t²-2t）+f（t²-k）＞0，
等价于f（t²-2t）＞-f（t²-k）=f（k-t²），即t²-2t＞k-t²，∴2t²-2t-k＞0，
∴原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，∴△=4+8k＜0，
∴所求k的取值范围是．
分析：（1）由f（0）=1+a=0可得a值；
（2）?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可得f（x₂）-f（x₁）的表达式，的其范围即可说明为增函数；
（3）由函数的性质可得原不等式恒成立即是2t²-2t-k＞0在t∈R上恒成立，由△＜0可得范围．
点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及函数恒成立问题，属基础题．