Question

10．函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（2x+y）=2f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；
（2）判断f（x）在R上的单调性并证明．
（3）若f（6）=-1解不等式f（log₂$\frac{x-2}{x}$）+6f（log₂$\root{3}{x}$）＜-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，令y=x，即可证明f（3x）=3f（x），令x=y=0，求出f（0）=0，再令y=0，即可证明f（2x）=2f（x）；
（2）由（1）知f（2x+y）=f（2x）+f（y），直接设2x₁＜x₂，根据x＞0，f（x）＜0；得到f（x₂）=f[（x₂-2x₁）+2x₁]=f（x₂-x₁）+f（2x₁）＜f（2x₁），即可得到结论；
（2）先根据已知条件得到f（1）=-$\frac{1}{6}$，再利用对数的运算性质，和已知函数的单调性得到log₂x（x-2）＞1=log₂2，再根据对数的性质得打关于x的不等式组，解得即可得到结论．

解答 解：（1）证明：令y=x，
则f（2x+x）=2f（x）+f（x），即f（3x）=3f（x），
令x=y=0，
∴f（0+0）=2f（0）+f（0），
即f（0）=0，
再令y=0，
∴f（2x）=2f（x）+f（0）=2f（x）；
（2）由（1）知，f（2x+y）=f（2x）+f（y），
设2x₁＜x₂，则x₂-2x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-2x₁）＜0，
∴f（x₂）=f[（x₂-2x₁）+2x₁]=f（x₂-2x₁）+f（2x₁）＜f（2x₁）
即f（x₂）＜f（2x₁），
∴函数f（x）在R上为单调减函数；
（3）令x=y=2，
∴f（6）=2f（2）+f（2）=3f（2）=-1，
再令x=1，y=0，
∴f（2）=2f（1）+f（0），
∴f（1）=$\frac{1}{2}$f（2）=-$\frac{1}{6}$，
∵f（log₂$\frac{x-2}{x}$）+6f（log₂$\root{3}{x}$）＜-$\frac{1}{6}$，
∴f（log₂$\frac{x-2}{x}$+6log₂$\root{3}{x}$）＜f（1），
∴f（log₂x（x-2））＜f（1），
∵函数f（x）在R上为单调减函数，
∴log₂x（x-2）＞1=log₂2
∴$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2）＞0}\\{x（x-2）＞2}\end{array}\right.$，
解得x＞1+$\sqrt{3}$，或x＜1-$\sqrt{3}$，
∴不等式的解集为{x|x＞1+$\sqrt{3}$，或x＜1-$\sqrt{3}$}．

点评 考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法，属于中档题．