Question

【题目】已知函数f（x）=|2x+ |+a|x﹣ |．

（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；

（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）[﹣7，9]

【解析】试题分析：

(1)零点分段可得不等式的解集为；

(2)利用绝对值不等式的性质，原问题转化为|1﹣b|≤8恒成立，据此可得实数b的取值范围是[﹣7，9].

试题解析：

解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式f（x）=|2x+|﹣|x﹣|≤3x，

等价于①；或②；或．

解①求得﹣≤x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x≥，

故原不等式的解集为{x|x≥﹣}．

（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|，即 2（|2x+|+2|x﹣|）+1＜|1﹣b|，

即|4x+1|+|4x﹣6|+1＜|1﹣b|．

由于|4x+1|+|4x﹣6|≥|（4x+1）﹣（4x﹣6）|=7，∴|1﹣b|＞7+1的解集为，即|1﹣b|≤8恒成立，

∴﹣8≤b﹣1≤8，即﹣7≤b≤9，即要求的实数b的取值范围为[﹣7，9]．