Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）若直线 与曲线和分别交于两点.设曲线

在点处的切线为， 在点处的切线为.

（ⅰ）当时，若 ，求的值；

（ⅱ）若，求的最大值；

（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点， ，且．

若，且恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ） (ⅱ) （2）

【解析】试题分析：（1）由和导数可得， ，可求得。

由，则在上有解. 即在上有解.

设， ，则.分，a=0,a>0讨论。（2）

. 在其定义域内的两个不同的极值点，. 即， . 两式作差得， . 由 . 令，则，由题意知: l 在上恒成立， 可求范围。

试题解析： (Ⅰ) 函数的定义域为.

， .

（ⅰ）当时， ， .

因为，所以. 即.

解得.

(ⅱ)因为，则在上有解. 即在上有解.

设， ，则.

当时， 恒成立，则函数在上为增函数.

当时，取，

取， , 所以在上存在零点.

当时， 存在零点， ，满足题意.

（2）当时，令，则.则在上为增函数， 上为减函数.

所以的最大值为.解得.

取， .

因此当时，方程在上有解.

所以， 的最大值是.

另解：函数的定义域为. ， .

则， .

因为，则在上有解.即在上有解.

因为，所以.

令 ()..得.

当， ， 为增函数；

当， ， 为减函数；

所以.

所以， 的最大值是.

（Ⅱ） .

因为为在其定义域内的两个不同的极值点，

所以是方程的两个根. 即， .

两式作差得， .

因为 ，由，得. 则 . 令，则，由题意知:

在上恒成立，

令，

则=.当，即时， ， ，

所以在上单调递增.

又，则在上恒成立.

当，即时， 时， ， 在上为增函数； 当时， ， 在上为减函数.

又，所以不恒小于，不合题意.

综上， .