Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x3+ax在（﹣1，0）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围A；
（2）当a为A中最小值时，定义数列{an}满足：a1∈（﹣1，0），且2an+1=f（an），用数学归纳法证明an∈（﹣1，0），并判断an+1与an的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=﹣3x2+a≥0即a≥3x2在x∈（﹣1，0）恒成立，a≥3．

∴a∈[3，+∞）；∴A=[3，+∞）；

（2）解：用数学归纳法证明：an∈（﹣1，0）．

（ⅰ）n=1时，由题设a1∈（﹣1，0）；

（ⅱ）假设n=k时，ak∈（﹣1，0）

则当n=k+1时，

由（1）知：f（x）=﹣x3+3x在（﹣1，0）上是增函数，又ak∈（﹣1，0），

所以 ，

综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意n∈N*，an∈（﹣1，0）．

因为an∈（﹣1，0），所以an+1﹣an＜0，即an+1＜an．

【解析】（1）通过函数的导数值恒大于等于0，求实数a的取值范围A；（2）直接利用数学归纳法证明步骤证明an∈（﹣1，0），通过作差法比较an+1与an的大小．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和数学归纳法的定义是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．