Question

函数y=2+sinx-cosx的最大值是

2+

2

，最小值是

2-

2

，最小正周期为

2π

，单调增区间为

[-

π

4

+2kπ，2kπ+

3π

4

]（k∈Z）

，减区间为

[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

]（k∈Z）

．

Answer 1

分析：先化简函数为关于两角和差的正弦的形式，再利用正弦函数的单调性、周期性、最值即可得出．

解答：解：∵y=2+

2

sin(x-

π

4

)，∴①当sin(x-

π

4

)=1时，ymax=2+

2

；②当sin(x-

π

4

)=-1时，ymin=2-

2

；③函数的最小正周期为2π；
④由-

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，解得-

π

4

+2kπ≤x≤2kπ+

3π

4

（k∈Z）．∴函数f（x）的单调递增区间[-

π

4

+2kπ，2kπ+

3π

4

]（k∈Z）；
⑤由

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，解得

3π

4

+2kπ≤x≤2kπ+

7π

4

（k∈Z）．∴函数f（x）的单调递减区间为[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

] （k∈Z）．
故答案分别为2+

2

，2-

2

，2π，[-

π

4

+2kπ，2kπ+

3π

4

]（k∈Z），[2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

] （k∈Z）．

点评：熟练掌握两角和差的正弦公式、正弦函数的图象和性质是解题的关键．