Question

【题目】如图，在四面体P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC= ．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）已知E是PA上一点，且BE∥平面PCD．若PC=2，求点E到平面ABCD的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC交BD于O，

∵PC⊥BP，BP∩CP=P，

∴PC⊥AB，

∵AB⊥BP，BP∩CP=P，

∴AB⊥平面PBC，

∴AB⊥BC，

∵BC= ，

∴tan∠BAC= ，即∠BAC=30°，

∵∠ABD=60°，

∴∠AOB=90°，

∴AC⊥BD，

∵PC⊥BD，

∴BD⊥平面ACP，

∵AP平面APC，

∴PA⊥BD

（2）解：取AD的中点F，连接BF，EF，

当E为PA的中点时，BE∥平面PCD，证明如下，

∵AB=BD，

∴BF⊥AD，

有（1）的BC=CD，则CD⊥AD，

∴EF∥CD，

∵E为PA的中点，

∴EF∥PD，

∴平面BEF∥平面PCD，

∵BE平面BEF，

∴BE∥平面PCD，

∵PC⊥底面ABCD，

∴点E到平面ABCD的距离等于 PC=1

【解析】（1）连接AC交BD于O，利用线线垂直得到线面垂直，即可证明PA⊥BD；（2）当E为PA的中点时，BE∥平面PCD，并证明，并得到点E到平面ABCD的距离等于 PC，问题得以解决．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．