Question

已知点M（x₁，f（x₁））是函数f（x）=，x∈（0，+∞）图象C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把M的横坐标代入导函数中表示出切线方程的斜率，把M的横坐标代入f（x）得到切点的纵坐标，根据切点坐标和表示出的斜率写出切线的方程即可；
（2）根据（1）表示出的切线方程，令x=0求出切线与y轴的交点B的坐标，令y=0求出切线与x轴的交点A的坐标，然后利用勾股定理表示出线段AB的长度，设三角形AOB的周长m等于|OA|+|OB|+|AB|，然后设t=x₁+，根据x₁的范围求出t的范围，根据基本不等式求出t的最小值，进而求出此时x₁的值，代入m即可得到m的最小值，即为三角形周长的最小值．
解答：解：（1）f′（x）=-，
∴k=f′（x₁）=-．
∴切线方程为y-=-（x-x₁），即y=-x+；
（2）在y=-x+中，
令y=0得x=2x₁，∴A（2x₁，0）．
令x=0，得y=，∴B．
∴△AOB的周长m=2x₁++．
∴m=2，x₁∈（0，+∞）．
令t=x₁+，∵x₁∈（0，+∞），∴t≥2．
∴当t=2，即x₁=1时，m_最小=2（2+）．
故△AOB周长的最小值是2（2+）．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．