Question

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，,为DB的中点，

（Ⅰ）证明：AE⊥BC；

（Ⅱ）线段BC上是否存在一点F使得PF与面DBC所成的角为，若存在，试确定点F的位置，若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）F为BC的中点

解析:

证明：（I）取BC的中点O，连接EO,AO,

EO//DC所以EO⊥BC ………………………………………………………………….…1分

因为为等边三角形，所以BC⊥AO ……………………………………………3分

所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE  …………………………………………………………4分

（II）方法一：连接PE，因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC

所以DC⊥面ABC，而EODC

所以EOPA，故四边形APEO为矩形 …………………………………………7分

易证PE⊥面BCD,连接EF,则PFE为PF与面DBC所成的角，即PFE=…9分

在Rt△ PEF中，因为PE =AO=BC,故EF=BC,

因为BC=DC,所以EF=DC,又E为BD的中点，

所以F为BC的中点……………………………………………………………………..12分

方法二：以BC的中点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，

OE所在的直线为z轴建立空间坐标系，不妨设BC=2，则,设，

则，………………………………………………………………………7分

而平面BCD的一个法向量，则由

，………………………………………………………………………..9分

解得y＝0，故F为BC的中点。……………………………………………………..12