Question

已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x²＋2x，

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在［－1，1］上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解析：此题考查综合应用函数的奇偶性和增减性解决解析式和最值问题.

解：(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x₀,y₀)关于原点的对称点为P(x,y),?

则即

∵点Q(x₀,y₀)在函数y=f(x)的图象上,?

∴-y=x²-2x,即y=-x²+2x.?

故g(x)＝-x²+2x.?

(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x²-|x-1|≤0.?

当x≥1时，2x²-x+1≤0.?

此时不等式无解.?

当x＜1时，2x²-x+1≤0.?

∴-1≤x≤.?

因此，原不等式的解集为［-1, ］.?

(3)h(x)=-(1+λ)x²+2(1-λ)x+1.?

①当λ=-1时，h(x)＝4x+1在［-1,1］上是增函数，∴λ=-1.?

②当λ≠-1时，对称轴的方程为x=.

(ⅰ)当λ＜-1时，≤-1，解得λ＜-1.

(ⅱ)当λ＞-1时，≥1时，解得-1＜λ≤0.?

综上，λ≤0.