Question

设函数f（x）=sinx+

3

cosx+1．
（1）求函数f（x）在[0，

π

2

]的最大值与最小值；
（2）若实数a，b，c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意x∈R恒成立，求

bcosc

a

的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：（1）先把函数f（x）=sinx+

3

cosx+1化成标准形式，然后再求最值；
（2）代入f（x）整理，化成标准形式，根据对任意x∈R恒成立，让系数等于0，求得

bcosc

a

的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinx+

3

cosx+1
=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）+1
=2sin（x+

π

3

）+1
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴

1

2

≤sin（x+

π

3

）≤1，∴2≤2sin（x+

π

3

）+1≤3
∴函数f（x）在[0，

π

2

]的最大值为3；最小值为2．
（2）af（x）+bf（x-c）=a[2sin（x+

π

3

）+1]+b[2sin（x+

π

3

-c）+1]=1
2asin（x+

π

3

）+2bsin（x+

π

3

-c）=1-a-b
2asin（x+

π

3

）+2bsin（x+

π

3

）cosc-2bcos（x+

π

3

）sinc=1-a-b
（2a+2bcosc）sin（x+

π

3

）-（cos（x+

π

3

）=1-a-b

(2a+2bcosc)2+(2bsinc)2

sin（x+

π

3

+φ）=1-a-b
因为上式对一切的x恒成立，所以

(2a+2bcosc)2+(2bsinc)2

=0
∴

2a+2bcosc=0 2bsinc=0

∴由2a+2bcosc=0得：

bcosc

a

=-1．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质及恒成立问题，解决本题的关键是化成三角函数的标形式．