Question

8．边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{MD}$，$\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{BN}$，则$\overrightarrow{AM•}\overrightarrow{AN}$=$\frac{13}{12}$．

Answer 1

分析 画出图形，根据条件可得出$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DN}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）$，从而得出$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，这样代入$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$进行数量积的运算即可．

解答 解：如图，
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{MD}$；
∴M为DC的中点；
∴$\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$；
$\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{BN}$；
∴N为线段DB靠近B的三等分点；
∴$\overrightarrow{DN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$
=$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}）•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}）$
=$（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）•[\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）]$
=$（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）•（\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{AD}}^{2}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}$
=$\frac{1}{3}+\frac{5}{12}+\frac{1}{3}$
=$\frac{13}{12}$．
故答案为：$\frac{13}{12}$．

点评 考查共线向量基本定理，以及向量数乘的几何意义，向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算和数量积运算．