Question

已知函数f（x）=log

1

2

2x-1

2x+1

．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）指出函数f（x）在区间（

1

2

，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据对数的真数必须大于0，解关于x的分式不等式即可得到函数的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义，验证可得对定义域内任意的x，都有f（-x）=-f（x），得函数f（x）是奇函数；
（3）设g（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，利用单调性的定义证出g（x）是定义在区间（

1

2

，+∞）上的增函数，再由

1

2

是小于1的正数，可得f（x）=log

1

2

g(x)是区间（

1

2

，+∞）上的减函数，得到本题答案．

解答：解：（1）根据题意，得

2x-1

2x+1

＞0，解之得x＜-

1

2

或x＞

1

2

∴函数的定义域是（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）；
（2）∵f（x）=log

1

2

2x-1

2x+1

，
∴f（-x）=log

1

2

-2x-1

-2x+1

=log

1

2

2x+1

2x-1

=log

1

2

(

2x-1

2x+1

)^-1=-log

1

2

2x-1

2x+1

，
可得f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数．
（3）设g（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

设

1

2

＜x₁＜x₂，则g（x₁）-g（x₂）=-4•

x2-x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为

1

2

＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，
而2x₁+1＞0且2x₂+1＞0，可得-4•

x2-x1

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，g（x₁）＜g（x₂），
∴函数g（x）是定义在区间（

1

2

，+∞）上的增函数
又∵

1

2

∈（0，1），∴f（x）=log

1

2

g(x)是区间（

1

2

，+∞）上的减函数
综上所述，函数f（x）在区间（

1

2

，+∞）上是单调减函数．

点评：本题给出含有分式的对数型函数，求函数的定义域奇偶性和单调性．着重考查了分式函数、对数函数的简单性质及其证明等知识，属于中档题．