Question

如图，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，F₁、F₂分别为左、右焦点，

M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且.

 (Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)设A(m，0)和B(，0)（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．

Answer 1

(Ⅰ)解：根据题设条件，F₁（-c,0）,F₂(c,0).设点M（x,y）.则x、y满足

           

因,解得,故

 

=

利用a²+b²=c²,得c²=,于是a²=1,b²=.因此，所求双曲线方程为

x²-4y²=1.

(Ⅱ)解：设点C（x₁,y₁）,D(x₂,y₂),E(x₃,y₃),则直线l的方程为

                y= (x-m).

于是C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)两点坐标满足

将(1)代入(2)得

（x₁²-2x₁m+m²-4y₁²）x²+8my₁²x-4y₁²m²-x₁²+2mx₁-m²=0.

由x²₁-4y²₁=1  (点C在双曲线上)，上面方程可化简为

（m²-2x₁m+1）x²+8my₁²x-(x₁²-2mx₁+m²x₁²)=0.

由已知，显然m²-2x₁m+1≠0.于是x₁x₂=-.因为x₁≠0，得

x₂=

同理，C(x₁,y₁)、E(x₃,y₃)两点坐标满足

可解得

x₃=

所以x₂=x₃,故直线DE垂直于x轴.