Question

【题目】已知函数f(x)=4sincos x+.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)若函数g(x)=f(x)-m区间在上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.

Answer 1

【答案】(1)T=π,递增区间为(k∈Z).(2) m∈[,2),-.

【解析】

(1)先根据两角差正弦公式展开，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间; (2)根据正弦函数图像确定有两解的m条件，并根据对称性确定x1+x2值，即得tan(x1+x2)的值.

(1)f(x)=4sincos x+

=4cos x+=2sin xcos x-2cos2x+=sin 2x-cos 2x

=2sin.

∴函数f(x)的周期为T=π.

由2kπ-≤2x-≤2kπ+,

得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z).

∴f(x)的递增区间为(k∈Z).

(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin上的图象,由图象可知,当且仅当m∈[,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,

且x1+x2=2×,故tan(x1+x2)=tan =-tan =-.