Question

数列{a_n}满足a1=1，an+1=

an2 4an2+1

（n∈N₊），
（1）证明{

1

an2

}为等差数列并求a_n；
（2）设cn=2n-3(

1

an2

+3)，数列{c_n}的前n 项和为T_n，求T_n；
（3）设Sn=a12+a22+…+an2，b_n=S_2n+1-S_n，是否存在最小的正整数m，使对任意n∈N₊，有bn＜

m

25

成立？设若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）对an+1=

an2 4an2+1

两边平方后取倒数，得

1

an+12

-

1

an2

=4，可知{

1

an2

}为等差数列，由此可求得

1

an2

，进而可得答案．
（2）由（1）表示出c_n，利用错位相减法可求得T_n；
（3）对任意n∈N₊，有bn＜

m

25

成立，等价于数列{b_n}的最大项小于

m

25

，利用作差可判断{b_n}为递减数列，从而可求得数列{b_n}的最大项；

解答：解：（1）证明：∵an+1=

an2 4an2+1

，
∴an+12=

an2

4an2+1

，
∴

1

an+12

=

4an2+1

an2

=

1

an2

+4，即

1

an+12

-

1

an2

=4，
∴{

1

an2

}为等差数列．∴

1

an2

=

1

a12

+(n-1)•4=4n-3，
∴an2=

1

4n-3

，
又由题意知a_n＞0，
∴an=

1

4n-3

．
（2）解：由（1）得cn=2n-3(

1

an2

+3)=n•2n-1，
∴Tn=1+2•21+3•22+…+n•2n-1，
2Tn=2+2•22+3•23+…+n•2n，
两式相减，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴Tn=(n-1)2n+1；
（3）解：∵b_n=S_2n+1-S_n，∴b_n+1=S_2n+3-S_n+1，
∴bn+1-bn=(S2n+3-S2n+1)-(Sn+1-Sn)=a2n+32+a2n+22-an+12
=

1

8n+9

+

1

8n+5

-

1

4n+1

=-

40n+31

(8n+9)(8n+5)(4n+1)

＜0，
∴b_n+1＜b_n，即数列{b_n}为递减数列，
则要使bn＜

m

25

恒成立，只需b1＜

m

25

，
∵b1=S3-S1=a22+a32=

14

45

，
∴

14

45

＜

m

25

，m＞

70

9

．
∴存在最小的正整数m=8，使对任意n∈N₊，有bn＜

m

25

成立．

点评：本题考查由递推式求数列通项、数列求和及数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握；恒成立问题常转化为最值问题解决．