Question

2．已知数列{a_n}为等差数列，且各项均不为0，T_n为其前n项和，T_2n-1=a_n²，n∈N₊，若不等式$\frac{{4×{{（{-1}）}^n}}}{n}+1≥\frac{{t{{（{-1}）}^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}$对任意的正整数n恒成立，则t的取值集合为{-15，-9}．

Answer 1

分析 由数列{a_n}为等差数列，T_2n-1=a_n²，求得前几项，可得公差，即可得到通项公式，再对n讨论奇数和偶数两种情况，运用参数分离和数列的单调性，求得最小值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：∵a_n²=T_2n-1，
∴a₁²=T₁=a₁，
又∵a_n≠0，∴a₁=1，
又∵a₂²=T₃=3a₂，
∴a₂=3或a₂=0（舍），
∴数列{a_n}的公差d=a₂-a₁=3-1=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
当n为偶数时，不等式$\frac{{4×{{（{-1}）}^n}}}{n}+1≥\frac{{t{{（{-1}）}^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}$即为
$\frac{4}{n}$+1≥$\frac{-t}{2n+1}$，即有-t≤（2n+1）（1+$\frac{4}{n}$）=9+2n+$\frac{4}{n}$，
由2n+$\frac{4}{n}$在n≥2递增，即有n=2时取得最小值，且为6，
则-t≤15，解得t≥-15；
当n为奇数时，不等式$\frac{{4×{{（{-1}）}^n}}}{n}+1≥\frac{{t{{（{-1}）}^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}$即为
-$\frac{4}{n}$+1≥$\frac{t}{2n+1}$，即有t≤（2n+1）（1-$\frac{4}{n}$）=-7+2n-$\frac{4}{n}$，
由2n-$\frac{4}{n}$在n≥1递增，即有n=1时取得最小值，且为-9，
则t≤-9．
综上可得t的范围是[-15，-9]．
故答案为：[-15，-9]．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用等差数列的通项公式，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及数列的单调性，属于中档题．