Question

9．已知点P是单位圆上一个定点，线段AB是单位圆的一条动弦，且AB=1，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围为（0，$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由题意可得△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，由圆的性质可得∠APB=30°，在△PAB中，运用余弦定理和基本不等式，即可得到|AP|•|BP|的最大值，即有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值，无最小值．

解答 解：如图单位圆上三点P，A，B，|AB|=1，
△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，
由圆的性质可得∠APB=30°，
在△PAB中，由余弦定理可得|AB|²=|AP|²+|BP|²-2|AP|•|BP|cos30°，
即有1═|AP|²+|BP|²-$\sqrt{3}$|AP|•|BP|≥2|AP|•|BP|-$\sqrt{3}$|AP|•|BP|
=（2-$\sqrt{3}$）|AP|•|BP|，则|AP|•|BP|≤2+$\sqrt{3}$，
当且仅当|PA|=|PB|=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，取得等号．
即有$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AP|•|BP|≤$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$，
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围为（0，$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$]．
故答案为：（0，$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查向量的数量积的定义，考查圆的性质：同弧所对的圆周角为圆心角的一半，以及余弦定理和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．