Question

4．设a为实数，f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（1）求a的值，使f（x）的图象关于原点对称；
（2）上述函数是否具有单调性，如果具有单调性，试求出单调区间并加以证明，如果没有单调性，说明理由．

Answer 1

分析 （1）f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数，则f（0）=0，求出a即可，
（2）利用导数判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于原点对称，
∴f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，
∴a-$\frac{2}{1+1}$=0，
∴a=1，
（2）∵ff（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
∴f′（x）=$\frac{2ln2•{2}^{x}}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0恒成立，
∴函数f（x）在R上为增函数．

点评 本题主要考查了导数与函数的单调性的关系以及函数的奇偶性，属于基础题．