Question

19．如图，D、E分别是△ABC的边BC的三等分点，设$\overrightarrow{AB}$=m，$\overrightarrow{AC}$=n，∠BAC=$\frac{π}{3}$．
（1）用$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$分别表示$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}$；
（2）若$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=15，|$\overrightarrow{BC}$|=3$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，代入可得$\overrightarrow{AD}$；同理可得：$\overrightarrow{AE}$．
（2）$|\overrightarrow{m}|$=c，$|\overrightarrow{n}|$=b．由$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=15，|$\overrightarrow{BC}$|=3$\sqrt{3}$，∠BAC=$\frac{π}{3}$．分别利用数量积运算性质、余弦定理可得bc，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{m}+\frac{1}{3}\overrightarrow{n}$；
同理可得：$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{m}+\frac{2}{3}\overrightarrow{n}$．
（2）$|\overrightarrow{m}|$=c，$|\overrightarrow{n}|$=b．
∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=15，|$\overrightarrow{BC}$|=3$\sqrt{3}$，
∴$（\frac{2}{3}\overrightarrow{m}+\frac{1}{3}\overrightarrow{n}）$•$（\frac{1}{3}\overrightarrow{m}+\frac{2}{3}\overrightarrow{n}）$=$\frac{2}{9}{\overrightarrow{m}}^{2}$+$\frac{2}{9}{\overrightarrow{n}}^{2}$+$\frac{5}{9}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{2}{9}{c}^{2}$+$\frac{2}{9}$b²+$\frac{5}{9}$bccos$\frac{π}{3}$=$\frac{2}{9}{c}^{2}$+$\frac{2}{9}$b²+$\frac{5}{18}$bc=15，
$（3\sqrt{3}）^{2}$=${b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，化为b²+c²-bc=27．
∴bc=18．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×18×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、余弦定理、三角形面积计算公式、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．