Question

已知函数f（x）=21nx与g（x）=a²x²+ax+1（a＞0）．
（1）设直线x=l与曲线y=f（x）和y=g（x）分别相交于点P，Q且曲线y=f（x）和y=g（x）在点P，Q处的切线平行，求实数a的值；
（2）f′（x）为f（x）的导函数，若对于任意的x∈（0，+∞），e

1

f′(x)

-mx≥0恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（1），再利用曲线y=f（x）和y=g（x）在点P，Q处的切线平行，可得f′（1）=g′（1），从而可求实数a的值；
（2）先分离参数，再构造函数求最值，即可求得结论．

解答：解：（1）∵f′（x）=

2

x

，∴f′（1）=2，
∵g′（x）=2a²x+a，曲线y=f（x）和y=g（x）在点P，Q处的切线平行，
∴g′（1）=2
∴2a²+a=2
∴a=

-1±2 5

4

∵a＞0，∴a=

-1+2 5

4

；
（2）∵f′（x）=

2

x

，∴e

1

f′(x)

-mx≥0等价于e

x

2

-mx≥0
∵x＞0，∴m≤

e x 2

x

构造函数g（x）=

e x 2

x

，则g′(x)=

e x 2 ( x 2 -1)

x2

当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调减；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调增
∴x=2时，函数g（x）=

e x 2

x

取得最小值

e

2

∴对于任意的x∈（0，+∞），e

1

f′(x)

-mx≥0恒成立时，m≤

e

2

∴实数m的最大值为

e

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，利用导数确定函数的最值．