Question

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1．
（Ⅰ）求异面直线EF与BC所成角的大小；
（Ⅱ）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为

1

3

，求CF的长．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）延长AD，FE交于Q，由已知得∠AQF是异面直线EF与BC所成的角，由此能求出异面直线EF与BC所成角．
（Ⅱ）设AB=x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF，AB⊥DG，CD⊥DF，从而DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则∠DHG为二面角A-BF-D的平面角．由此能求出CF．

解答： 解：（Ⅰ）延长AD，FE交于Q．
∵ABCD是矩形，∴BC∥AD，
∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．
在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1，
得∠AQF=30°．
即异面直线EF与BC所成角为30°．
（Ⅱ）设AB=x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．
∵ABCD为矩形，∴CD⊥DF，
∴DG⊥平面ABF．
过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，
∴∠DHG为二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=

3

．
在直角△BAF中，由

AB

BF

=sin∠AFB=

GH

FG

，得

GH

x

=

1

x2+4

，
∴GH=

x

x2+4

．
在直角△DGH中，DG=

3

，GH=

x

x2+4

，得DH=2

x2+3 x2+4

．
∵cos∠DHG=

GH

DH

=

1

3

，得x=

2

5

15

，
∴AB=

2

5

15

．
∵AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1，
∴AF=AD=DF=2，
∴CF=

CD2+DF2

=

60 25 +4

=

4 10

5

．

点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．