Question

已知正项等比数列{a_n}满足S₃-3a₁-2a₂=0，若存在两项a_n•a_m使得

aman

=4a1，则

1

m

+

4

n

的最小值是（　　）

• A、9
• B、

  9

  5

• C、

  3

  2

• D、

  4

  3

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可得数列的公比q=2，由通项公式易得

1

6

（m+n）=1，进而可得

1

m

+

4

n

=

1

6

（

1

m

+

4

n

）（m+n）=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

），由基本不等式可得．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，
∵S₃-3a₁-2a₂=0，∴a₁+a₂+a₃-3a₁-2a₂=0，
∴a₃-2a₁-a₂=0，∴a₁q²-2a₁-a₁q=0，
消去a₁可解得q=2，或q=-1（舍去），
又∵存在两项a_n•a_m使得

aman

=4a1，
∴a_m•a_n=16a₁²，∴a₁²q^m+n-2=16a₁²，
∴q^m+n-2=16，即2^m+n-2=16，
∴m+n-2=4，∴

1

6

（m+n）=1，
∴

1

m

+

4

n

=

1

6

（

1

m

+

4

n

）（m+n）
=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

（5+2

m n • 4m n

）=

3

2

，
当且仅当

n

m

=

4m

n

即m=2且n=4时取等号，
∴

1

m

+

4

n

的最小值是

3

2

故选：C

点评：本题考查等比数列的性质和通项公式，涉及基本不等式的应用，属中档题．