(本小题满分12分) 已知圆过两点,且圆心在上.
(1)求圆的方程;
(2)设是直线上的动点,是圆的两条切线,为切点,求四边形面积的最小值.
(1) (x-1)2+(y-1)2=4. (2) S=2=2=2.
解析试题分析:(1)根据题意,设出圆心(a,b),然后圆过两点,其中垂线必定过圆心,且圆心在上.联立直线的方程组得到交点坐标即为圆心坐标,进而两点距离公式求解半径,得到圆的方程。
(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,根据两个三三角形的底相同,高相等,那么即可知S=2|PA|,只需要求解切线长|PA|的最小值即可。
解:(1)设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
根据题意,得 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
解得a=b=1,r=2, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分
(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|, 所以S=2|PA|, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分而|PA|==, 即S=2.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分
所以|PM|min==3, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
所以四边形PAMB面积的最小值为S=2=2=2. ﹍﹍﹍12分
考点:本试题主要是考查了圆的方程的求解以及运用切线长和圆的半径和圆心到圆外一点的距离的勾股定理的关系可知,求解四边形面积的最值的问题就是转换为解三角形面积的最值的运用。
点评:结合该试题的关键是理解圆心和半径是求解圆的方程核心,同时直线与圆相切时,构成的四边形的面积问题,能否转化为一条切线和一个半径以及一个圆心到圆外一点P的三角形的面积的最值,最终化简为只需要求解切线长|PA|的最小值即可。。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(理)(本题满分14分)如图,已知直线,直线以及上一点.
(Ⅰ)求圆心M在上且与直线相切于点的圆⊙M的方程.
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下;若直线分别与直线、圆⊙依次相交于A、B、C三点,
求证:.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分15分)已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,为椭圆上一点, 且满足
(为坐标原点)。当 时,求实数的值.
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