Question

 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为

5

5

，

7 2

10

．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求2α+β的值．

Answer 1

分析：（1）先求出两个锐角α，β的余弦，再利用同角三角函数的关系求出其正弦，进而利用商数关系得到两角的正切值，代入正切的和角公式求值．
（2）同（1）先用正切的和角公式求出2α+β的正切，再根据其正切值求2α+β的值，再确定其值前要先确定2α+β的取值范围．

解答：解：（1）由已知得：cosα=

5

5

，cosβ=

7 2

10

．∵α，β为锐角，∴sinα=

2 5

5

，sinβ=

2

10

．
∴tanα=2，tanβ=

1

7

．∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

2+ 1 7

1-2× 1 7

=3．
（2）∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

1-4

=-

4

3

，∴tan(2α+β)=

tan2α+tanβ

1-tan2α•tanβ

=

- 4 3 + 1 7

1-(- 4 3 )× 1 7

=-1．
∵α，β为锐角，∴0＜2α+β＜

3π

2

，
∴2α+β=

3π

4

．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，求解的关键是利用公式求出角的正切值，再求角．本题中涉及到了三角函数中的多个公式，变形灵活，做题时要注意转化正确．本题考查了转化化归的思想．