Question

（1）若

e1

，

e2

为基底向量，且

AB

=

e1

-k

e2

，

CB

=2

e1

+

e2

，

CD

=3

e1

-

e2

，若A、B、D三点共线，求实数k的值；　（2）用“五点作图法”在已给坐标系中画出函数y=2sin(

1

3

x-

π

6

)一个周期内的简图，并指出该函数图象是由函数y=sinx的图象进行怎样的变换而得到的？

Answer 1

分析：（1）由已知中A、B、D三点共线，及

AB

=

e1

-k

e2

，

CB

=2

e1

+

e2

，

CD

=3

e1

-

e2

，由平面向量的基本定理，可求出实数k的值；
（2）分别令相位角

1

3

x-

π

6

等于0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出对应的（x，y）点，可画出函数y=2sin(

1

3

x-

π

6

)一个周期内的简图，进而根据正弦型函数的图象变换法则，可得答案．

解答：解：（1）

BD

=

BC

+

CD

=

e1

-2

e2

，…（2分）
设

AB

=λ

BD

+

CD

，…（3分）
得

e1

-k

e2

=λ

e1

-2λ

e2

…（4分）
得

λ=1 k=2

，
即k=2；…（6分）
（2）列表为

x	π 2	2π	7π 2	5π	13π 2
1 3 x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
y	0	2	0	-2	0

…（2分）
   …（4分）
把y=sinx的图象向右平移

π

6

个单位长度，得到y=sin(x-

π

6

)的图象；
再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到y=sin(

1

3

x-

π

6

)的图象；
再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到函数y=2sin(

1

3

x-

π

6

)的图象；

点评：本题考查的知识点是五点法作图，函数图象的变换，（1）的关键是根据三点共线，结合平面向量基本定理构造关于λ，k的方程，（2）的关键是熟练掌握正弦型函数的图象变换法则．