Question

如图，有两条相交成

π

3

角的直线EF，MN，交点是O．一开始，甲在OE上距O点2km的A处；乙在OM距O点1km的B处．现在他们同时以2km/h的速度行走．甲沿EF的方向，乙沿NM的方向．设与OE同向的单位向量为

e1

，与OM同向的单位向量为

e2

．
（1）求

e1

，

e2

；
（2）若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，请用

e1

，

e2

表示

CD

；
（3）若过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，请用

e1

，

e2

表示

GH

；
（4）什么时间两人间距最短？

Answer 1

分析：（1）由题意结合向量的数乘的意义可得答案；
（2）若过2小时后，易得CD的位置，用

e1

，和

e2

，可表示向量

OC

和

OD

，而

CD

=

OD

-

OC

，代入可得；
（3）同（2的方法）可得；
（4）两人间距离y=|

GH

|，代入化简可得y=

12t2-6t+3

，由二次函数的知识可得答案．

解答：解：（1）由题意可得

e1

=

1

2

OA

，

e2

=

OB

，
（2）若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，
则

OC

=-2

e1

，

OD

=5

e2

，
故

CD

=

OD

-

OC

=2

e1

+5

e2

，
（3）同（2）可得：经过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，
则

OG

=（-2t+2）

e1

，

OH

=（2t+1）

e2

，
故

GH

=

OH

-

OG

=（2t-2）

e1

+（2t+1）

e2

，
（4）由（3）可得

GH

=（2t-2）

e1

+（2t+1）

e2

，
故两人间距离y=|

GH

|=

[(2t-2) e1 +(2t+1) e2 ]2

=

(2t-2)2+(2t+1)2+2(2t-2)(2t+1)× 1 2

=

12t2-6t+3

，
由二次函数的知识可知，当t=-

-6

2×12

=

1

4

时，
上式取到最小值

3

2

，故

1

4

时两人间距离最短．

点评：本题考查向量的平行以及单位向量和模长的求解，属中档题．