Question

【题目】记表示中的最大值，如.已知函数，.

（1）设，求函数在上零点的个数；

（2）试探究是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)个；(2)存在，.

【解析】

试题分析：(1)因为,所以构造,在定义域内求导判断函数值为大于等于,故;构造函数,求导判断单调性,画出图象,求出与的交点个数；(2)对恒成立,即和都小于恒成立,分别参变分离,在给定范围内求出最值,取各个的取值范围的交集.

试题解析：解：（1）设，，

令，得，递增；令，得，递减.

∴，∴，即，∴.

设，则由得或.

∴在上递增，在上递减，

∵，，，∴结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为2.

（2）假设存在实数，使得对恒成立，

则对恒成立，

即对恒成立，

（i）设，，

令，得，递增；令，得，递减.

∴.

当即时，，∴，∵，∴.

故当时，对恒成立.

当即时，在上递减，∴.

∵，∴，

故当时，对恒成立.

（ii）若对恒成立，则，∴.

由（i）及（ii）得.

故存在实数，使得对恒成立，且的取值范围为.