Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是线段B₁C上的一个动点，下列命题错误的是（　　）

• A．直线AD₁与A₁P所成的角的大小不变
• B．点P到平面ABCD的距离与点P到直线C₁D₁的距离相等，这样的P点恰有2个
• C．直线AP与平面A₁C₁D平行
• D．直线A₁P与底面A₁B₁C₁D₁所成角的最大值为arccos

  6

  3

Answer 1

分析：由AD₁⊥平面A₁B₁CD，得直线AD₁与A₁P所成的角的大小为90°，保持不变．选项A正确；
由平面A₁C₁D∥平面AB₁C，得直线AP与平面A₁C₁D平行．选项C正确；
当点P运动到与点C重合时，直线A₁P与底面A₁B₁C₁D₁所成的角最大，且所成角为∠CAC₁，得∠CAC₁=arccos

6

3

，所以选项D正确．
排除法得出，选项B错误．

解答：解：∵AD₁⊥平面A₁B₁CD，且A₁P在平面A₁B₁CD内，
∴AD₁⊥A₁P，即直线AD₁与A₁P所成的角的大小为90°，保持不变．选项A正确；
∵平面A₁C₁D∥平面AB₁C，且直线AP在平面AB₁C内，
所以直线AP与平面A₁C₁D平行．选项C正确；
当点P运动到与点C重合时，直线A₁P与底面A₁B₁C₁D₁所成的角最大，且所成角为∠CAC₁，
则设正方体棱长为a，在Rt△ACC₁中，
A₁C₁=

2

a，A₁C=

3

a，所以cos∠CAC₁=

A1C1

A1C

=

6

3

，
即∠CAC₁=arccos

6

3

，
所以选项D正确．
排除法得出，选项B错误．
故选B．

点评：本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间几何体的性质的灵活运用．