Question

14．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，得到直线l的普通方程，再将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入能求出直线l的极坐标方程．
（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，能求出l与C交点的极坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y-2=0，
再将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入x+y-2=0，得ρcosθ+ρsinθ=2．…（5分）
（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程
$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ+ρsinθ=2}\\{{ρ}^{2}-4ρ（sinθ+cosθ）+4=0}\end{array}\right.$，
∵ρ≥0，0≤θ≤2π，∴解得$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2}\\{{θ}_{1}=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}=2}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴l与C交点的极坐标分别为（2，0），（2，$\frac{π}{2}$）．…（10分）

点评 本题考查直线的极坐标方程的求法，考查直线l与曲线C交点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．