Question

已知函数f(x)=

mx+n

x2+1

(m，n∈R，x∈R)为奇函数，且f(1)=

1

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判定函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并用单调性定义进行证明；
（3）若x∈[0，+∞），求函数f（x）在区间[k，k+

1

2

](k≥0)内的最大值g（k）．

Answer 1

分析：（1）根据函数是奇函数与f(1)=

1

2

求得n与m的值，即可得函数的解析式；
（2）设1＜x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，利用定义法判断并证明函数在区间（1，+∞）的是减函数；
（3）根据函数在区间[1，+∞）上单调递减，在[0，1]上单调递增，利用分类讨论求g（k）．

解答：解：（1）∵函数是奇函数，∴f（0）=n=0；
由f（1）=

m

2

=

1

2

，得m=1，
∴函数f（x）的解析式f（x）=

x

x2+1

；
（2）设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵x12+1＞0，x22+1＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数在区间（1，+∞）上是减函数；
（3）由（2）知函数在区间[1，+∞）上单调递减，在[0，1]上单调递增，
①当k+

1

2

≤1时，即0≤k≤

1

2

时，g（k）=f（k+

1

2

）=

4k+2

4k2+4k+5

；
②当k＜1＜k+

1

2

时，即

1

2

＜k＜1时，g（k）=f（1）=

1

2

；
③当k≥1时，g（k）=f（k）=

k

k2+k

；
综上g（k）=

4k+2 4k2+4k+5 ，0≤k≤ 1 2 1 2 ，                   1 2 ＜k＜1 k k2+k ，         k≥1

点评：本题考查了函数的奇偶性及解析式的求法，考查了函数单调性的判断与证明，综合性强，体现了分类讨论思想．