Question

已知函数f（x）＝的图象过坐标原点O，且在点（－1，f（－1））处的切线的斜率是－5．

　　　 （1）求实数b、c的值；

　　　 （2）求f（x）在区间[－1,2]上的最大值；

Answer 1

解：　（1）当x<1时，f（x）＝－x³＋x²＋bx＋c，则f′（x）＝－3x²＋2x＋b．

依题意，得即，

解得b＝c＝0                  …………．     4分

（2）由（1）知，f（x）＝．

①当－1≤x<1时，f′（x）＝－3x²＋2x＝－3x，

令f′（x）＝0得x＝0或x＝．

当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（－1,0）	0
f′（x）	－	0	＋	0	－
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

又f（－1）＝2，f＝，f（0）＝0，

∴f（x）在[－1,1）上的最大值为2．          ………………．8分

②当1≤x≤2时，f（x）＝aln x．

当a≤0时，f（x）≤0，∴f（x）的最大值为0；

当a>0时，f（x）在[1,2]上单调递增，

∴f（x）在[1,2]上的最大值为aln 2．

综上所述，

当aln 2≤2，即a≤时，f（x）在[－1,2]上的最大值为2；

当aln 2>2，即a>时，f（x）在[－1,2]上的最大值为aln 2．   …………．．12分